Intrducción

 En el campo de la educación es relevante influir el pensamiento matemático (funcional, variacional y geométrico analítico) de los estudiantes a través de la reconstrucción social de los conceptos y procesos del Álgebra, la Trigonometría y la Geometría Analítica (A-T-GA) para resolver problemas contextualizados. En base a la realidad y la experiencia con problemas de la vida cotidiana. 

   Este blog tiene como finalidad dar a conocer la importancia del desarrollo de las matemáticas y las ramas que la comprenden como Álgebra, la Trigonometría y la Geometría Analítica. A continuación se presentan los conceptos sobre funciones y ecuaciones lineales. De igual manera se presentan ejemplos para mejorar la comprensión del lector.

¿Qué son las funciones lineales?

Se entiende como función lineal toda aquella función real cuya principal característica consiste en que su representación gráfica es una recta que pasa por el origen del plano cartesiano.

Como lo mencionan los autores Agnelli et al (2009) “en los cursos de matemática se utiliza la función lineal como de uno de los ejemplos básicos del concepto de función. Dada la expresión de la función, f(x)= m x + b, en general se pasa a asociar esta función con su representación gráfica: la recta”. Dando a entender que la representación de las funciones lineales son la recta en el plano cartesiano donde las letras “m” y “b” son constantes y x es una variable.

Para realizar la representación de una función lineal se tiene en cuenta que la letra “m” es la pendiente (la inclinación) de la recta en el plano cartesiano y la “b” caracteriza el punto en donde la recta atraviesa el eje y.

La función lineal se representa a través de texto,diagramas, tablas de valores, gráficos y fórmulas. Su importancia radica en que permite modelar situaciones de proporcionalidad.

Ejemplos de funciones lineales

Ejemplo N°1

Como graficar una función lineal

Ejemplo N°2 

Resolución de problemas:

José es un vendedor de pinturas de casa.

La compañía para la que trabaja le paga un salario fijo de $65 diarios, más $20 de comisión por cada cubeta de pintura que venda.

a) Establece una función que represente el salario de un día cualquiera de José.

b) Tabula y grafica la función.

c)  ¿Cuál es el dominio y rango?

Solución:

    Datos:

Salario/ día: 65

Comisión / venta: 20

a) y = salario total / día

     

    x = cantidad de cubetas/ día

    Entonces la función que podemos expresar es y = 20x + 65

b) Representación:

    Tabla de valores:

 
   

x	y
0	65
3	125
5	165
-10	-135
-20	-335

    Gráfica:

c) De acuerdo a la recta podemos identificar que el dominio son todos los números reales

Y el rango son todos los reales.


Referencia bibliográfica 

Math2me (2016). Aplicación de una función lineal. Recuperado de: https://youtu.be/tNYHrCqf_WM

Sistema de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones (lineales) que tienen más de una incógnita. Las incógnitas aparecen en varias de las ecuaciones, pero no necesariamente en todas. Lo que hacen estas ecuaciones es relacionar las incógnitas entre sí.

Ejemplo de un sistema:

$$\{\begin{array}{c}3x+2y=1\\ x-5y=6\end{array}$$

Es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ( e $y$.

Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar el valor de cada incógnita para que se cumplan todas las ecuaciones del sistema.

La solución del  sistema del ejemplo anterior es

$$\begin{array}{c}x=1\\ y=-1\end{array}$$

Pero no siempre existe solución, o bien, pueden existir infinitas soluciones. Si hay una única solución (un valor para cada incógnita, como en el ejemplo anterior) se dice que el sistema es compatible determinado. 

Representación:

Métodos para resolver ecuaciones lineales:

• Método de sustitución: consiste en despejar o aislar una de las incógnitas (por ejemplo, $x$) y sustituir su expresión en la otra ecuación. De este modo, obtendremos una ecuación de primer grado con la otra incógnita, $y$. Una vez resuelta, calculamos el valor de $x$ sustituyendo el valor de $y$ que ya conocemos.
• Método de reducción: consiste en operar entre las ecuaciones como, por ejemplo, sumar o restar ambas ecuaciones, de modo que una de las incógnitas desaparezca. Así, obtenemos una ecuación con una sola incógnita.
• Método de igualación: consiste en aislar en ambas ecuaciones la misma incógnita para poder igualar las expresiones, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita.

Ejemplo de ecuaciones lineales:

• Ejemplo 1

Solución por sustitución

Despejamos en la primera ecuación la $x$:

Y la sustituimos en la segunda:

Calculamos $x$ sabiendo $y=2$:

Por tanto, la solución del sistema es

Igualación

Despejamos en ambas ecuaciones la $\mathrm{y:}$

Como $y=y$, igualamos las expresiones y resolvemos la ecuación:

Ahora, sustituimos el valor de la incógnita $x=1$ en la primera de las ecuaciones anteriores para calcular $y$:

Por tanto, la solución del sistema es

Reducción

Para sumar las ecuaciones y que desaparezca una de las dos incógnitas, los coeficientes de dicha incógnita deben ser iguales pero de signo distinto. Para ello, multiplicamos por -2 la primera ecuación.

Después, sumamos las ecuaciones y resolvemos la ecuación obtenida:

Finalmente, sustituimos el valor de $y=2$ en la primera ecuación y la resolvemos:

Ejemplo N°2

¿Cómo resolver problemas con ecuaciones lineales?

Referencias bibliográficas

• https://www.matesfacil.com/ESO/Ecuaciones/resueltos-sistemas-ecuaciones.html

• https://www.portaleducativo.net/segundo-medio/45/sistema-de-ecuaciones-lineales

Referencias bibliográficas

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Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 285 – 347. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7689

Ortiz, C. F. J. (2014). Matemáticas 3 (2a. ed.). México, D.F., MX: Larousse - Grupo Editorial Patria. Páginas 48 – 140. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=5&docID=11046371&tm=1488213794691

Real, M. (2010). Secciones Cónicas. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7690

Andalón, J. (2010). Ecuación general de la recta. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7686

Agnelli, H., Konic, P., Peparelli, N. Z., & Flores, P. (2009). La función lineal obstáculo didáctico para la enseñanza de la regresión lineal. Revista Iberoamericana de Educación Matemática, 17, 52-61. Recuperado de: http://www.fisem.org/www/union/revistas/2009/17/Union_017.pdf#page=54